Olá Marcos,
É bem tranquilo. O "a" (ou "an", se vier antes de uma palavra que comece com som de vogal) é o artigo indefinido - equivale em português a "um", "uma". Então:
- I'd like to join a* gym. (Eu gostaria de me matricular em uma academia.)
- I saw a* dog. (Eu vi um cachorro.)
Já o "the" é o artigo definido - equivale em português a "o", "a", "os", "as". Então:
- I'd like to join the* gym. (Eu gostaria de me matricular na academia. - quando você já sabe qual, ou já está lá, ou o contexto já deixa claro qual)
- I saw the* dog that bit you. (Eu vi o cachorro que te mordeu.)
Abraços!