Boa noite Alessandro, tudo bem?
A diferença no uso do "do" nas respostas está na ênfase e na forma afirmativa ou negativa da frase.
Na resposta afirmativa "Yes, I have a very beautiful Caloi.", o verbo "have" está sendo usado de forma simples e direta. Em inglês, quando respondemos afirmativamente a uma pergunta com "do you have...?", não há necessidade de repetir o auxiliar "do" na resposta. Basta usar "have" diretamente.
Já na resposta negativa "No, I do not have a car.", o "do" aparece porque, na negação, o verbo "have" precisa do auxiliar "do" para formar a estrutura correta. O inglês usa "do" para ajudar a negar a frase quando "have" é usado como um verbo comum e não como verbo auxiliar.
Se fosse uma resposta curta, poderia ser simplesmente:
Yes, I do. (para afirmar)
No, I do not. (para negar)
Ou seja, o "do" não aparece na afirmativa completa porque não é necessário reforçá-lo, mas na negativa ele é exigido para estruturar corretamente a frase.
Espero tê-lo ajudado, bons estudos! :)