I'm not coming to work because I'm feeling a little under the weather.

Boa noite, Beatriz.

O problema com seu exemplo está na preposição to: seu uso aqui está incorreto. Nesse caso, quando você usa o verbo modal won't a preposição não é necessária. Sem a preposição, contudo, a frase estaria correta:

I won't work because I'm feeling under the weather. Eu não vou trabalhar porque estou me sentindo mal. (P.S.: A expressão "under the weather" é idiomática e, nesse sentido, não tem tradução literal, permitindo outras traduções, como baqueado(a), passando mal e similares.)

Espero ter ajudado, grande abraço.

Obrigada Ivan, me ajudou muito.