Let me show you a picture . of him

Olá Hugo,

A preposição "of" é uma das equivalentes à preposição portuguesa "de", indicando posse. Exemplo:

• This is the end of the movie. (Esse é o final do filme.)

Note que na frase acima temos a aglutinação do português da preposição "de" com o artigo definido "o", resultando em "do". Isso não existe em inglês (a preposição "of" com o artigo definido "the" resulta em "of the" mesmo, sem aglutinar).

Da mesma forma, temos a frase que você citou:

• Let me show you a picture of him. (Deixe-me te mostrar uma foto dele.)

Onde em português temos novamente a aglutinação da preposição "de", desta vez com o pronome pessoal "ele", resultando em "dele". Em inglês também não aglutina, porém depois de preposições, em vez de usarmos o pronome pessoal de sujeito ("he", em português "ele"), nós precisamos usar o pronome pessoal de objeto ("him").

Isso serve pra qualquer preposição. Exemplos:

• She's living with him. (Ela está morando com ele.)
• We're talking about him. (Nós estamos falando sobre ele.)
• The dog is in front of him. (O cachorro está na frente dele.)

E assim por diante.

Abraços!