porque não o dont stay, ao inves de not to stay?

Olá Arthur,

Usamos o "do" quando conjugamos algum verbo, então, para o verbo "to go" (ir), temos:

• I do not (don't) go... (Eu não vou....)
• You do not (don't) go... (Você não vai....)
• He does not (doesn't) go... (Ele não vai....)
• We do not (don't) go... (Nós não vamos....)

Etc. Mas note que nessa frase que você citou, o verbo está na forma do infinitivo, não está conjugado. A frase original é:

• They decided not to stay at the hotel. (Eles decidiram não ficar no hotel.)

Ou seja, o verbo que está conjugado aqui é o "decidiram", o verbo "ficar" está na sua forma do infinitivo, assim não há necessidade de usar o auxiliar "do".

Outra possibilidade correta seria colocar o "not" depois do "to":

• They decided to not stay at the hotel. (Eles decidiram não ficar no hotel.)

Abraços!