Olá Ley,
Ótima pergunta. Então, isso é mais uma questão de uso do que outra coisa. Nesse caso, ambas as formas até que são gramaticalmente corretas, porém é muito mais natural o uso da forma no Simple Past ("I got"). O uso da forma no Present Perfect ("I've got" no Reino Unido ou "I've gotten" nos EUA) neste caso soaria excessivamente formal.
Outra maneira de pensar pode ser dizer que o ato de "get" foi pontual e já acabou no passado, ele não pode alterar isso. O que tem relação com o presente são os bilhetes, não o ato de pegá-los, e por isso é melhor o Simple Past.
De qualquer forma, isso é algo que ocorre com frequência na língua inglesa e em outras línguas - não usar a forma que seria necessariamente a mais correta, e você verá isso com certa frequência, principalmente no inglês americano, e requer simplesmente muito contato com o idioma, mas neste caso até mesmo os britânicos usariam apenas "got".
Outro exemplo é quando você vai atender ao telefone ou à porta, você pode dizer à sua mãe "I got it!", que literalmente seria traduzido de uma maneira estranha e no passado, mas nada mais é do que o nosso "Deixa comigo", "Deixa que eu (faço isso)".
Abraços!