Qual a difrença de better e best?

Olá João,

A diferença é bem tranquila. O "better" é o comparativo ("melhor" do que outra coisa); já o "best" é o superlativo ("o melhor" de todos). Vou dar exemplos comparando também com o adjetivo "fast" (rápido):

ADJETIVO NA FORMA BÁSICA

• He is fast. (Ele é rápido.)
• This car is good. (Esse carro é bom.)
• I feel good/fine. (Eu me sinto bem.)

COMPARATIVO

• He is faster than his brother. (Ele é mais rápido do que o irmão dele.)
• This car is better than that one. (Esse carro é melhor do que aquele.)
• I feel better now. (Eu me sinto melhor agora.)

SUPERLATIVO

• He is the fastest boy in the class. (Ele é o menino mais rápido da classe.)
• This car is the best one here. (Esse carro é o melhor aqui.)
• I feel best when I'm alone. (Eu me sinto melhor (do que em todas as outras situações) quando eu estou sozinho.)

No caso das suas frases, como é uma pergunta sobre uma situação específica, provavelmente a construção com "better" será mais usada, comparando com como essa pessoa se sentia antes:

• Will you feel better if I give you a hug? (Você vai se sentir melhor se eu te der um abraço?)

Abraços!